Главная Экономика Книги Моделювання економіки - Вітлінський В.В.

Моделювання економіки - Вітлінський В.В.

11.4. Обчислювальні аспекти розв’язування задач на підставі моделі МГБ

Основний обсяг обчислень за моделлю МГБ пов’язаний з обчисленнями матриці коефіцієнтів повних матеріальних витрат В. Якщо матриця коефіцієнтів прямих матеріальних витрат А задана та є продуктивною, то матрицю В можна обчислювати за допомогою формул обернення матриць, що розглядаються в курсі матричної алгебри, або наближеним способом, використовуючи розклад у матричний ряд (11.17).

Розглянемо перший спосіб знаходження матриці В. Знаходимо матрицю (Е – А), а потім, застосовуючи один із прямих методів пошуку обернених невироджених матриць, обчислюємо матрицю (Е – А)–1. Одним із широковживаних методів обернення матриць є метод Жордана. Використовують також метод, що ґрунтується на застосуванні формули

(11.18)

де в чисельнику — матриця, приєднана до матриці (Е – А), елементи котрої є алгебраїчними доповненнями для елементів транспонованої матриці (Е – А)?, а в знаменнику — визначник матриці (Е – А). Алгебраїчні доповнення, у свою чергу, для елементів з індексами і та j дістають множенням співмножника на мінор, що отримується після викреслювання з матриці А і-го рядка й j-го стовпчика.

Згідно з другим способом обчислення матриці коефіцієнтів повних матеріальних витрат використовують формулу (11.17). Обов’язковою умовою коректності цих обчислень є умова щодо продуктивності матриці А, а, здійснюючи обчислення, обмежуються врахуванням опосередкованих матеріальних витрат до певного порядку (наприклад 3-го порядку). Тут використовується процедура множення квадратних матриць з їхнім наступним додаванням, а коефіцієнти повних матеріальних витрат отримуються з деяким наближенням (із заниженням).

Приклад Для тригалузевої економічної системи задані матриця коефіцієнтів прямих матеріальних витрат і вектор кінцевої продукції:

Необхідно обчислити коефіцієнти повних матеріальних витрат і вектор валової продукції, а також заповнити схему міжгалузевого матеріального балансу.

Розв’язання.

1. Визначимо матрицю коефіцієнтів повних матеріальних витрат згідно з другим (наближеним) способом, ураховуючи опосереднені матеріальні витрати до 2-го порядку включно. Запишемо матрицю коефіцієнтів опосередкованих витрат 1-го порядку:

матрицю коефіцієнтів опосередкованих витрат 2-го порядку:

Отже, матриця коефіцієнтів повних матеріальних витрат наближено дорівнюватиме:

2. Обчислимо матрицю коефіцієнтів повних матеріальних витрат за допомогою формул обернення невироджених матриць (перший спосіб):

а) знаходимо матрицю (Е – А):

б) обчислимо визначник цієї матриці:

в) транспонуємо матрицю (Е – А):

г) знайдемо алгебраїчні доповнення для елементів матриці

Отже, приєднана до матриці (Е – А) матриця має вигляд:

д) використовуючи формулу (11.18), знаходимо матрицю коефіцієнтів повних матеріальних витрат:

Як зазначалося, елементи матриці В, що обчислені згідно з першим способом, є дещо більшими, ніж відповідні елементи матриці, обчисленої згідно з другим (наближеним) способом.

3. Знаходимо обсяги валової продукції трьох галузей (вектор Х), використовуючи формулу (11.10):

4. Для обчислення елементів першого квадранта матеріального міжгалузевого балансу скористаємося формулою, що випливає з (11.4), тобто xij = aijXj, i, j = 1, …, n.

Для отримання елементів першого квадранта необхідно елементи першого стовпчика матриці А перемножити на величину X1 = 775,3, елементи другого стовпчика матриці А — на X2 = 510,1; елементи третього стовпчика матриці А — на X3 = 729,6.

Складові третього квадранта (умовно чиста продукція) знаходять з урахуванням формули (11.1) як різницю між обсягами валової продукції та сумами елементів відповідних стовпчиків відшуканого першого квадранта.

Четвертий квадрант у наведеному прикладі складається лише з одного показника й слугує, зокрема, для контролю правильності обчислень: сума елементів другого квадранта повинна (у вартісному матеріальному балансі) збігатися із сумою елементів третього квадранта.

Результати обчислень подано у вигляді таблиці (табл. 11.2).

Таблиця 11.2

МІЖГАЛУЗЕВИЙ БАЛАНС ВИРОБНИЦТВА Й РОЗПОДІЛУ ПРОДУКЦІЇ