Главная Экономика Книги Моделювання економіки - Вітлінський В.В.

Моделювання економіки - Вітлінський В.В.

10.5. Багатоетапна динаміка фінансових ресурсів на підставі мультиплікативної стохастичної моделі

*6

*6: {Конюховський П. В. Микроэкономическое моделирование банковской деятельности. — Спб.: Питер, 2001.}

Розгляньмо відносно просту ситуацію. Вважатимемо, що обсяги залучених засобів (коштів) за періодами є деяким зовнішнім чинником, динаміку котрого можна описати за допомогою введеної в п. 10.2. мультиплікативної стохастичної моделі.

Обсяг залучених коштів у період t + 1 можна подати як

(10.64)

де коефіцієнти приростів — випадкові величини, розподілені згідно з логнормальним законом із параметрами mi та si. Припускається, що mi залежать від v (). Отже, рівняння (10.62) матиме вигляд:

. (10.65)

Розв’язок даного рівняння можна відшукати, використовуючи метод Дюамеля для Z-перетворення. Для цього розглянемо допоміжне рівняння:

gt+1 – rgt = dt, g0 = 0, (10.66)

де

(10.67)

Нехай gt ® G(z) і dt ® 1 — Z-перетворення функцій gt і dt. Тоді gt+1 ® ZG(Z), а зображення рівняння для (10.66) матиме вигляд:

(10.68)

Отже,

(10.69)

Оригіналом для

послуговує послідовність rt. Маємо з відомих властивостей Z-перетворення:

(10.70)

Щоб привести рівняння (10.65) до нульової початкової умови, введемо нову змінну ht = qt – q0. Якщо припустити, що

(10.71)

то рівняння для набере вигляду:

(10.72)

Після низки перетворень знайдемо, що

. (10.73)

Таким чином, маємо розв’язок різницевого рівняння (10.65):

(10.74)

Якщо коефіцієнти елементарного переходу мають однакові розподіли для всіх моментів , розв’язок (10.74) набуде вигляду:

(10.75)

Використовуючи результати, отримані за допомогою стохастичних мультиплікативних моделей, прогноз обсягів залучених коштів на момент t + 1 матиме вигляд:

(10.76)

де x0 — обсяг залучених коштів на початковий момент (t = 0); — оцінки значень параметрів m, s відповідно.

Згідно з гіпотезою щодо взаємної незалежності коефіцієнтів переходу at, замінивши їх у формулі (10.75) відповідними оцінками, отримаємо вираз для прогнозного значення обсягу власних коштів на момент t:

(10.77)

де можна отримати з (10.76).

В окремому випадку, якщо , після розкриття невизначеності вираз (10.77) матиме більш компактну форму:

. (10.78)

Формули (10.77) та (10.78) мають чітку економічну інтерпретацію — обсяг власних коштів фінансової фірми на момент часу t залежить від двох складових (у межах сформованої моделі):

• q0 rt — величини початкового капіталу з урахуванням політики накопичення;
• — результатів діяльності щодо залучення коштів та отримання доходів від активного та раціонального використання їх.

Можна здійснити графічну ілюстрацію «поведінки» послідовності стосовно різних значень норми витрат на залучення коштів (v).

Розгляньмо приклади для демонстрації означених методів на концептуальному рівні.

За статистичну базу візьмімо щорічну фінансову звітність Банку Нью-Йорка (США), яку можна отримати у Web-сервері FDIC. Так, у табл. 10.1 містяться дані щодо динаміки власного капіталу, зобов’язань та обсягів відсоткових доходів цього банку (у млн доларів США) за період 1992—1997 роки.Таблиця 10.1

ДИНАМІКА ВЛАСНОГО КАПІТАЛУ, ЗОБОВ’ЯЗАНЬ, ВІДСОТКОВИХ ДОХОДІВ І ВИТРАТ БАНКУ НЬЮ-ЙОРКА ЗА 1992—1997 рр., млн дол.*

* html: www.fdic.gov

На підставі даних табл. 10.1 знайдемо оцінки значень норми доходу від застосування коштів як усереднене відношення відсоткового доходу Ut до всього капіталу xt + qt і норми витрат на їх залучення , що дорівнюють усередненому відношенню відсоткових витрат Vt до обсягу зобов’язань попереднього періоду xt–1.

Ураховуючи, що з розгляду вилучені такі чинники, як невідсоткові доходи і витрати, витрати на сплату податків тощо, для зіставлення обсягів чистого відсоткового доходу Ut – Vt з приростами власного капіталу Dqt треба ввести нормуючий коефіцієнт Після множення на нього первинних оцінок норм доходу та витрат отримаємо оцінки . Використовуючи для знаходження оцінки величини коефіцієнта елементарного переходу обсягів зобов’язань формулу (10.76) і підставляючи замість u та v оцінки їх та у формулу (10.77), можна отримати прогнозні значення обсягів власного капіталу по роках розглядуваного періоду. Результати обчислень подано у вигляді таблиці (табл. 10.2).

Таблиця 10.2

ФАКТИЧНІ ТА ПРОГНОЗНІ ЗНАЧЕННЯ ОБСЯГУ ВЛАСНОГО КАПІТАЛУ БАНКУ НЬЮ-ЙОРКА, млн дол.*

* Розрахунок здійснено за даними html:www.fdic.govПрипустимо відповідно Q = 0,05, r» 1,001.

Відносно високий рівень відхилення між розрахунковими і фактичними обсягами адекватний рівню похибки, закладеної у використовуваних даних.

Розвивати викладений вище підхід можна, наприклад, таким чином. Для вивчення впливу рішень, що їх приймає фінансова фірма відносно політики залучення ресурсів, на динаміку її розвитку (зокрема на динаміку власного капіталу) можуть досить ефективно використовуватись рекурентні динамічні моделі, котрі ґрунтуються на математичному апараті лінійних різницевих рівнянь.

Для побудови прогнозів очікуваних значень обсягів фінансових ресурсів депозитної природи, акумульованих за рахунок коштів значної кількості вкладників (однотипових рахунків), можуть бути використані стохастичні моделі банківських депозитів, у яких за основу можна взяти гіпотезу щодо можливості опису процесів, які зумовлюють зміну кількості рахунків і кількості операцій з ними за допомогою випадкових величин, розподілених за законом Пуассона, а коефіцієнтів відносної зміни рахунків у розрізі окремих операцій — за допомогою випадкових величин, що мають логнормальний закон розподілу.