Главная Прочие дисциплины Книги Математичне програмування - Наконечний С.І.

Математичне програмування - Наконечний С.І.

9.2. Задача про розподіл капіталовкладень між двома підприємствами на n років

Розглянемо задачу динамічного програмування на прикладі задачі про розподіл капіталовкладень.

Допустимо, що розглядається виробнича система, яка складається з двох підприємств. Нехай плановий період складається з n інтервалів-частин (наприклад, років), і протягом даного періоду слід використати суму коштів b, що має бути розподілена між двома підприємствами. Відомі прибутки, які приносять вкладення коштів: вкладення у перше підприємство обсягом x приносить прибуток , а друге підприємство дає з такої ж суми прибутку .

Необхідно розподілити кошти на період у n років так, щоб досягти максимального прибутку за весь плановий період.

Можна легко сформулювати задачу, коли плановий період складається з одного року (однокрокова задача).

Якщо в перше підприємство здійснили вкладення обсягом x, тоді сума вкладених у друге підприємство коштів становить і дає прибуток .

У такому разі маємо однокрокову задачу:

за умов:

,

.

Введемо позначення:

, , , , тоді задача матиме вигляд:

; (9.1)

. (9.2)

Тепер розглянемо цю задачу оптимального розподілу капітальних вкладень, якщо вона складається з двох періодів (етапів).

Оскільки прибуток утворюється в результаті випуску та реалізації продукції, що пов’язано з певними виробничими витратами, то на початок другого періоду початкова сума зменшиться до величини , де , а сума — до величини , де . Щоб визначити найбільший прибуток, який можна отримати від сумарного залишку протягом другого етапу, необхідно розв’язати задачу математичного програмування, аналогічну до задачі (9.1)—(9.2), тобто:

, (9.3)

. (9.4)

Поставимо тепер задачу оптимального поточного планування розподілу капіталовкладень по всіх n інтервалах періоду, причому принцип розподілу вкладень у кожному з періодів полягає у відшуканні оптимального використання тієї суми коштів, що залишається на кінець попереднього періоду. Критерій оптимальності не змінюється і полягає в максимізації прибутку за весь період. Тоді для k-го етапу (періоду) залишок коштів після використання в попередньому періоді становитиме . Визначаємо оптимальну суму коштів , що доцільно вкладати в перше підприємство в k-му періоді, розв’язуючи таку задачу:

, (9.5)

. (9.6)

Оскільки критерієм оптимальності є максимізація загального прибутку за всі n періодів, то в цілому необхідно знайти максимальне значення функціонала, що складається із максимальних значень прибутків кожного окремого періоду, тобто загальна задача має вид:

(9.7)

за умов:

, (9.8)

.

Цільова функція (9.7) є функцією n змінних і залежить від початкового параметра .

Розв’язування задачі (9.7)—(9.8) розглянутими раніше однокроковими методами може виявитися неможливим. Проте міркування, які привели до формулювання задачі (9.7)—(9.8), породжують ідею побудови алгоритму поетапного розв’язування динамічних задач.