Главная Прочие дисциплины Книги Математичне програмування - Наконечний С.І.

Математичне програмування - Наконечний С.І.

Заключні зауваження

У цьому розділі розглянуто два методи (графічний і симплекс-метод) розв’язання задач лінійного програмування. Графічний метод для розв’язування реальних задач не придатний, оскільки економіко-математична модель для його застосування мусить мати тільки дві змінні (види діяльності). На практиці такі задачі не виникають. Якщо економіко-математична модель адекватно описує реальні технологічні та економічні процеси, то вона, як правило, має сотні чи навіть тисячі змінних і обмежень. Для розв’язування таких задач використовується симплексний метод, із застосуванням якого теоретично можна дістати оптимальний розв’язок довільної лінійної економіко-математичної задачі.

Графічний метод є важливим для осмислення сутності оптимізації, геометричної інтерпретації постановки та розв’язку задач лінійного програмування.

Слід підкреслити, що економічні процеси є нелінійними, стохастичними, динамічними тощо. Далі будуть описані відповідні методи розв’язання таких задач. Проте звертаємо увагу читача на те, що є багато технологічних та економічних процесів, які з достатньою для практики точністю можна описати лінійними залежностями, тобто такі моделі є лінійними, а отже, для знаходження їх оптимального розв’язку застосовується симплексний метод.

Для поглибленого вивчення методів оптимізації лінійних задач можна скористатися літературними джерелами [6; 9; 12; 19; 26; 28].

Контрольні запитання

• Запишіть загальну математичну модель задачі лінійного програмування.
• Як звести задачу лінійного програмування до канонічної форми?
• Які є форми запису задач лінійного програмування?
• Поясніть геометричну інтерпретацію задачі лінійного програмування.
• Який розв’язок задачі лінійного програмування називається допустимим?
• Поясніть, що називається областю допустимих планів.
• Який план називається опорним?
• Який опорний план називається невиродженим?
• Сформулюйте основні аналітичні властивості розв’язків задачі лінійного програмування.
• Які задачі лінійного програмування можна розв’язувати графічним методом?
• За яких умов задача лінійного програмування з необмеженою областю допустимих планів має розв’язок?
• Суть алгоритму графічного методу розв’язання задач лінійного програмування.
• Для розв’язування яких математичних задач застосовується симплексний метод?
• Суть алгоритму симплексного методу.
• Сформулюйте умови оптимальності розв’язку задачі симплексним методом.
• Як вибрати спрямовуючий вектор-стовпець?
• Як вибрати розв’язувальний елемент?
• Суть методу Жордана—Гаусса.
• Суть методу штучного базису.

Приклади та завдання для самостійної роботи

Розв’язати графічним методом такі задачі.

Задача 2.1. Комерційна фірма рекламує свою продукцію, використовуючи місцеві радіо- та телевізійну мережі. Витрати на рекламу в бюджеті фірми становлять 10 000 грн на місяць. Одна хвилина радіореклами коштує фірмі 5 грн, а телереклами — 90 грн. Фірма має намір використовувати радіорекламу принаймні вдвічі частіше, ніж рекламу на телебаченні. Досвід свідчить, що обсяг збуту, який забезпечує 1 хв телереклами, у 30 разів перевищує обсяг збуту, що забезпечує 1 хв радіореклами.

Визначити оптимальний розподіл коштів, які щомісяця мають витрачатися на рекламу, за якого обсяг збуту продукції фірми був би найбільшим.

Задача 2.2. Невелике сільськогосподарське підприємство спеціалізується на вирощуванні овочів, зокрема капусти та томатів, використовуючи для підвищення їх урожайності мінеральні добрива (фосфорні та калійні). Норми внесення мінеральних добрив під кожну культуру та їх запаси у господарстві наведені в таблиці:

Таблиця 2.7

НОРМИ ВНЕСЕННЯ МІНЕРАЛЬНИХ ДОБРИВ ТА ЇХ ЗАПАСИ

Для вирощування овочів відведено земельну ділянку площею 20 га. Очікуваний прибуток господарства від реалізації 1 ц капусти становить 10 умовних одиниць, а 1 ц томатів — 20. Середня врожайність капусти в господарстві дорівнює 300 ц/га, а томатів— 200 ц/га.

Визначити такий варіант розміщення культур на земельній ділянці, який максимізував би прибуток господарства за умови, що витрати мінеральних добрив не перевищують їх запасів.

Задача 2.3. Фірма виготовляє продукцію А та В, використовуючи для цього два види сировини, добові запаси якої мають не перевищувати відповідно 210 та 240 кг. Витрати сировини для виготовлення одиниці продукції кожного виду наведені в таблиці:

Таблиця 2.8

НОРМИ ВИТРАТ СИРОВИНИ ДЛЯ ВИГОТОВЛЕННЯ ПРОДУКЦІЇ

Працівники відділу збуту фірми рекомендують, щоб виробництво продукції В становило не більш як 65 % загального обсягу реалізації продукції обох видів. Ціни одиниці продукції А та В дорівнюють відповідно 10 та 40 грн.

Визначити оптимальний план виробництва продукції, за якого максимізується дохід фірми.

Задача 2.4. Фірма виготовляє деталі видів А та В до автомобілів, ринок збуту яких практично необмежений. Будь-яка деталь має пройти послідовну обробку на трьох верстатах, тривалість використання кожного з яких становить 10 год/добу. Тривалість обробки однієї деталі на кожному верстаті наведена в таблиці:

Таблиця 2.9

ТРИВАЛІСТЬ ОБРОБКИ ДЕТАЛЕЙ

Прибуток від оптової реалізації однієї деталі видів А та В становить відповідно 20 та 30 грн.

Визначити оптимальні добові обсяги виробництва деталей кожного виду, що максимізують прибуток фірми.

Задача 2.5. Підприємство виготовляє письмові столи типів А та В. Для одного столу типу А необхідно 2 м2 деревини, а для столу типу В — 3 м2. Підприємство може отримувати до 1200 м2 деревини на тиждень. Для виготовлення одного столу типу А потрібно 12 хв роботи обладнання, а для моделі В — 30 хв. Обладнання може використовуватися 160 годин на тиждень. Оцінено, що за тиждень можна реалізувати не більше 550 столів.

Відомо, що прибуток від реалізації одного письмового столу типу А становить 30 грн, а типу В — 40 грн. Скільки столів кожного типу необхідно виготовляти за тиждень, щоб прибуток підприємства за вищезазначених умов був максимальним?